Éléments · Proposition V sur VI

La taille est un curseur, pas un interrupteur.

VPourquoi elle tient

La taille d’une position n’est pas une affaire de tout ou rien. Trop petite, l’avantage est gaspillé ; trop grande, une seule mauvaise passe y met fin. Nous dimensionnons sous le point de croissance optimale, délibérément.

Les modèles relèvent de la même discipline — assez simples pour qu’on s’y fie, assez riches pour compter. Trop simples, ils sous-apprennent ; trop complexes, ils mémorisent le passé.

∎Démonstration

g(f) = \mu f - \tfrac{1}{2}\sigma^2 f^2, \quad f^* = \frac{\mu}{\sigma^2}, \quad g\!\left(\tfrac{f^*}{2}\right) = \tfrac{3}{4}\,g(f^*), \quad g(2f^*) = 0

Démonstration · ni avidité ni peurIllustrative

Croissance logarithmique espérée du capital selon la taille de position, en unités de la fraction de Kelly f* = μ/σ². La peur — une taille proche de zéro — laisse de la croissance inutilisée. L’avidité — au-delà de f* — achète plus de variance pour moins de croissance, et à 2f* ne produit plus aucune croissance. La moitié de f* conserve trois quarts de la croissance pour un quart de la variance. La même courbe gouverne les modèles : trop simples, ils sous-apprennent ; trop complexes, ils surapprennent. De l’arithmétique exacte, pas des données.

C.Q.F.D.