Elementos · Proposición V de VI

El tamaño es un regulador, no un interruptor.

VPor qué se cumple

El tamaño de una posición no es todo o nada. Demasiado pequeño y la ventaja se desperdicia; demasiado grande y una mala racha acaba con ella. Dimensionamos por debajo del punto de crecimiento óptimo, a propósito.

Los modelos siguen la misma disciplina: lo bastante simples para confiar en ellos, lo bastante ricos para que importen. Demasiado simples, infraajustan; demasiado complejos, memorizan el pasado.

∎Demostración

g(f) = \mu f - \tfrac{1}{2}\sigma^2 f^2, \quad f^* = \frac{\mu}{\sigma^2}, \quad g\!\left(\tfrac{f^*}{2}\right) = \tfrac{3}{4}\,g(f^*), \quad g(2f^*) = 0

Demostración · ni codicia ni miedoIllustrative

Crecimiento logarítmico esperado del capital frente al tamaño de la posición, en unidades de la fracción de Kelly f* = μ/σ². El miedo —un tamaño cercano a cero— deja crecimiento sin aprovechar. La codicia —más allá de f*— compra más varianza a cambio de menos crecimiento, y en 2f* no crece nada. La mitad de f* conserva tres cuartas partes del crecimiento con una cuarta parte de la varianza. La misma curva gobierna los modelos: demasiado simples infraajustan, demasiado complejos sobreajustan. Aritmética exacta, no datos.

Q.E.D.